Se você quer mandar bem no ENEM, você tem que estar por dentro de Probabilidade.

Essa matéria cai todo ano e cai mais de uma questão sobre esse tema. Além de ser importante para o ENEM, também cai na maioria dos concursos que tem raciocínio lógico entre as matérias. Essa é a hora de descobrir tudo que precisa sobre probabilidade para mandar bem nessas questões!!

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PROBABILIDADE

O estudo das probabilidades, cujas ferramentas dão suporte a uma extensa área de conhecimento, teve sua origem na necessidade de quantificar os riscos dos seguros e de avaliar as chances de ganhar em jogos de azar.

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Fenômeno aleatório

É um fenômeno que pode ser repetido várias vezes e sob as mesmas condições e apresentar resultados diferentes, ou seja, eventos aleatórios definidos pelo acaso.

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Alguns exemplos de fenômeno aleatório:

– lançamento de um dado não viciado;

– número de peças defeituosas fabricadas por uma máquina;

– resultado de um jogo de roleta;

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Pelo fato de não sabermos o resultado exato de um fenômeno aleatório é que buscamos os resultados prováveis, ou seja, a probabilidade de determinado resultado ocorrer.

 

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Espaço Amostral

Em um fenômeno aleatório, o conjunto formado por todos os resultados possíveis é chamado espaço amostral (Ω). Qualquer subconjunto do espaço amostral é chamado de evento.

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Exemplos:

• Lançamento de um dado

O conjunto de todos os resultados possíveis é {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Um subconjunto poderia ser o de números ímpar: {1, 3, 5}

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• Lançamento de uma moeda

O conjunto de todos os resultados possíveis é: {cara, coroa}

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Cálculo da probabilidade

A probabilidade de um evento ocorrer será a razão entre os números de resultados favoráveis para esse evento e o número total de resultados possíveis (espaço amostral).

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Evento certo, impossível e mutuamente exclusivo

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• Evento certo

É quando um evento coincide com o espaço amostral.

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Exemplos: Ao lançar um dado qual a probabilidade de sair um número menor que 7?

Resultados possíveis: {1, 2, 3, 4, 5, 6} = 6

Resultados favoráveis: {1, 2, 3, 4, 5, 6} = 6

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Todos os números possíveis de cair são menores que 7, assim esse é um evento certo, pois a probabilidade é de 100% de ocorrer.

p(A) = 6 ÷ 6

p(A) = 1 ou 100%

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• Evento impossível

É quando um evento é vazio, ou seja, ele não está dentro do espaço amostral.

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Exemplos: Ao lançar um dado qual a probabilidade de sair um número maior que 6?

Resultados possíveis: {1, 2, 3, 4, 5, 6} = 6

Resultados favoráveis: { ᴓ} = 0

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No espaço amostral não existe número maior que 6, assim esse é um evento impossível, pois tem probabilidade de 0% de ocorrer.

p(A) = 0 ÷ 6

p(A) = 0 ou 0%

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• Eventos mutuamente exclusivos

É quando a intersecção de dois eventos é um conjunto vazio.

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Exemplo: Ao lançar um dado qual a probabilidade de cair um número ímpar e um múltiplo de 2.

Resultados possíveis: {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Resultados favoráveis:

Evento 1 – ser número ímpar: {1, 3, 5}

Evento 2 – ser múltiplo de 2: {2, 4, 6}

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Como ele quer saber a probabilidade de cair um número ímpar E um múltiplo de 2. Será a intersecção entre o evento 1 e o evento 2. Como não existe nenhum número que esteja nos dois subconjuntos, a intersecção entre eles é um conjunto vazio.

 Evento 1 ∩ Evento 2 = ᴓ.

p(A) = 0 ÷ 6

p(A) = 0 ou 0%

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Intersecção de eventos

É quando tendo dois ou mais eventos, queremos saber a probabilidade de sair um número que está em todos os subconjuntos. O que determina a intersecção é a existência da palavra E.

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Exemplo: Ao lançar um dado, qual a probabilidade de sair um número par e um número múltiplo de 3.

Resultados possíveis: {1, 2, 3, 4, 5, 6}

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Resultados favoráveis: Evento 1 ∩ Evento 2

Evento 1 – ser número par: {2, 4, 6}

Evento 2 – ser múltiplo de 3: {3, 6}

Evento 1 ∩ Evento 2 = {6}

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Probabilidade = (Evento 1 ∩ Evento 2) ÷ Espaço Amostral

Probabilidade = 1/6

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União de eventos

É quando tendo dois ou mais eventos, queremos saber a probabilidade de sair um número que pode estar em qualquer um dos conjuntos. O que determina a união é a existência da palavra OU.

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Exemplo: Ao lançar um dado, qual a probabilidade de sair um número par ou um número múltiplo de 3.

Resultados possíveis: {1, 2, 3, 4, 5, 6}

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Resultados favoráveis: Evento 1 U Evento 2

Evento 1 – ser número par: {2, 4, 6}

Evento 2 – ser múltiplo de 3: {3, 6}

Evento 1 U Evento 2 = {2, 3, 4, 6}

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Probabilidade = (Evento 1 U Evento) ÷ Espaço Amostral

Probabilidade = 4/6

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É importante frisar que a probabilidade da união de dois eventos(A e B) será:

p(A U B) = p(A) + p(B) – p(A ∩ B)

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Ou seja, será a probabilidade de A ocorrer mais a probabilidade de B ocorrer, menos o conjunto de resultados que eles tem em comum.

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No exemplo acima vamos chamar o evento 1 de A e o evento 2 de B, assim teremos:

p(A) = 3/6

p(B) = 2/6

p(A ∩ B) = 1/6  ( a intersecção de A e B é o subconjunto 6)

p(A U B) = 3/6 + 2/6 – 1/6

p(A U B) = 4/6

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Probabilidade Condicional

É quando temos dois eventos A e B, em que o evento A depende do fato de que o evento B ocorreu. É definida por p(A/B), ou seja, a probabilidade condicional de ocorrer A, tendo ocorrido B.

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Exemplo: Ao lançar uma moeda 3 vezes, qual a probabilidade de sair cara duas vezes, sabendo que o resultado do primeiro lançamento foi cara?

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Vamos chamar o evento de sair cara duas vezes de A e o evento sair cara no primeiro lançamento de B. E chamaremos cara = c e coroa = C.

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Assim, espaço amostral, ou seja, todos os resultados possíveis ao lançar um moeda 3 vezes:

 {CCC, CCc, CcC, Ccc, cCC, cCc, ccC,ccc} = 8

Os resultados favoráveis para A são: {ccC, cCc, Ccc} = 3

Os resultados favoráveis para B são: {ccc, ccC, cCc, cCC} = 4

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p(B) = 4/8   => p(B)=1/2

p(A ∩ B)= 2/8 (pois existem 2 termos em comum nos conjuntos A e B)

p(A ∩ B)=1/4

Aplicando a fórmula da probabilidade condicional temos:

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Eventos Independentes

É quando temos dois eventos A e B, e a probabilidade de ocorrer um deles não depende do fato de ter ocorrido ou não o outro. Assim, a probabilidade de A e B ocorrem será dada por:

p(A ∩ B) = p(A) . p(B)

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Exemplo: Ao lançar 2 dados não viciados, qual a probabilidade de sair 6 no primeiro dado e sair 3 no segundo dado?

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Chamaremos de A o evento de sair 6 no primeiro dado e B o evento de sair 3 no segundo dado.

p(A) = números de resultados favoráveis(A) ÷ números de resultados possíveis(A)

números de resultados favoráveis(A) = 1 (sair 6)

números de resultados possíveis(A) = 6 ({1,2,3,4,5,6})

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p(A) = 1/6

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p(B) = números de resultados favoráveis(B) ÷ números de resultados possíveis(B)

números de resultados favoráveis(B) = 1 (sair 3)

 números de resultados possíveis(B) = 6 ({1,2,3,4,5,6})

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p(B) = 1/6

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A probabilidade de acontecer o evento A e o Evento B será  p(A ∩ B) = p(A) . p(B)

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Com essas informações cobrimos tudo que você precisa saber sobre probabilidade. Agora é colocar em prática. Se ainda ficou alguma dúvida deixe nos comentários.

–é 

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