Conjuntos: Dicas para acabar com suas dúvidas

Hoje vamos estudar Conjuntos. Esse é um tópico importante tanto para quem vai estudar para o ENEM e vestibulares, quanto para quem está estudando para concursos. Conjunto é uma matéria recorrente nas provas, por isso se você souber como resolver já garante alguns pontinhos a mais na sua nota. Então vamos começar!!

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Conjuntos

A ideia de conjunto se relaciona a ideia de grupo ou coleção.

Ex.: Conjunto dos dias da semana

D={Domingo, Segunda, Terça, Quarta, Quinta, Sexta, Sábado}

• Quando o conjunto for vazio deve ser representado por:

C= { } ou C= Ø

• Se o conjunto tem mais elementos colocamos (…) para indicar que ele continua.

ELEMENTO de um conjunto

• Cada uma das partes individuais deste conjunto é chamada de elementos.

Ex.: V={ a, e, i, o, u}

a, e, i, o, u são elementos de V

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a ϵ V  – a é elemento de V

b ∉ V  – b não é elemento de V

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• Um conjunto (quando for possível) também pode ser descrito através de uma propriedade comum a todos os seus elementos.

Ex.: V= {x ϵ V/ x é uma vogal}

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• Ou através de um diagrama

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Subconjunto

Imagine dois conjuntos A e B. Se todo elemento de A for também elemento de B, então A é subconjunto de B.

A C B  => A é subconjunto de B

• Todo subconjunto é subconjunto de si mesmo

A C A

• O vazio é subconjunto de qualquer conjunto.

Imagine o conjunto A={1, 3, 5, 7, 9}.

As seguintes afirmações são verdadeiras.

{1, 3, 5} C A                                         {1, 2}  A

{1} C A                                                 {9, 7, 5, 3, 1} C A

1 ⊅ A                                                    Ø ⊅ A

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Número de subconjuntos de um conjunto

Para um conjunto de n elementos, temos que o número de subconjuntos formados será 2ⁿ

Ex.: B={1, 2, 3}                  n= 3

Subconjuntos = 2³= 8

Como podemos ver os subconjuntos são: {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1, 2, 3}, Ø

Diferença entre subconjunto e elemento

– Subconjunto: é um conjunto feito a partir de um conjunto original.

– Elemento: Integrante de um conjunto.

Se o elemento a faz parte do conjunto B, então:             a ϵ B  e   {a} C B

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CONJUNTOS NÚMERICOS

• Números naturais

São os números que usamos para contar objetos.

N = {0,1,2,3,4…}

• Números inteiros

São os números inteiros positivos e negativos e zero.

Z = {…-3,-2,-1,0,1,2,3…}

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Z₊= conjunto dos inteiros positivos e o zero

Z _–= conjunto dos inteiros negativos e o zero

Z₊^*= conjunto dos inteiros positivos, SEM o zero

Z* _–= conjunto dos inteiros negativos, SEM o zero

• Números Racionais

Sejam a e b dois números inteiros, com b≠0. Em outras palavras, são racionais os números que são razões (quocientes) de dois números inteiros. Assim, simbolicamente, representa-se o conjunto dos números racionais (Q) da seguinte forma:

São números racionais:

• Qualquer número inteiro.

Exemplos:

a) 0 = 0/3

b) 5 = 5/1

c) 10 = 20/2

d) -8 = -8/1

De modo geral, os números inteiros podem assumir a forma a/b, na qual a ϵ Z, b ϵ Z^* e a é múltiplo de b.

• Qualquer decimal exato (numerais que apresentam um número finito de algarismos decimais diferentes de zero).

Exemplos:

a) 6,3 = 63/10

b) -0,0001 = -1/10.000

c) 6,171717 = 6171717/10⁶

d) 4,3 = 4,30 = 4,300 = 4,3000 = … é um decimal exato

• Qualquer fração de numerador inteiro e de denominador inteiro não nulo.

Exemplos:

a) -1/8

b) 7/13

c) 31333/990

• Qualquer decimal periódico (numerais formados por infinitos algarismos decimais que se repetem periodicamente).

Exemplos:

a) 0,666…

b) -0,232323…

c) 5,1888…

• Números Irracionais

Números como 1,4142135…, cuja representação decimal é infinita e não periódica, são chamados de números irracionais, isto é não racionais e, sendo assim, não são inteiros nem razão de dois inteiros, mas podem representar medidas no mundo real, como a medida da diagonal do quadrado de lado 1.

Veja outros exemplos de números irracionais:

a) 0,1234567891011…

b) 1,01002000300004…

c) π = 3,141592…

d) raiz de 3 = 1,7320508…

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NÚMEROS REAIS

O conjunto dos números Reais (R) é formado pela União dos números racionais e os números irracionais.

Usando o diagrama temos:

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Conjunto UNIVERSO

É o conjunto que engloba todos os conjuntos considerados.

OBS.: O conjunto Universo poderá limitar as soluções de um problema.

Ex: Qual a solução de X+1=2,5? Considere U= números naturais.

X=2,5-1

X=1,5, Mas 1,5 ∉ Naturais

Resp.: Não há solução, pois a resposta está fora do conjunto universo citado.

União de conjuntos

É a junção dos elementos de dois ou mais conjuntos. Símbolo: U

Ex.: A= {1,2,3,4,5}     B={4,5,6,7}

AUB={1,2,3,4,5,6,7}

Intersecção de conjuntos

São os elementos comuns a 2 ou mais conjuntos. Símbolo: ∩

Ex.: A= {1,2,3,4,5}     B={4,5,6,7}

A∩B={4,5}

IMPORTANTE: Quando formos resolver questões de conjunto, devemos SEMPRE começar pela interseção.

Propriedades dos conjuntos

• A UA=A => propriedade idempoente
• Ø U A = A => elemento neutro da união
• A U (BUC) = (A U B) U C => propriedade associativa
• A U B = B U A => propriedade comutativa
• A ∩ A =A => propriedade idempoente
• A ∩ B = B ∩ A => propriedade comutativa
• A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C => propriedade assossiativa
• A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C) => propriedade distributiva
• A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C) => propriedade distributiva

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SUBTRAÇÃO de conjuntos

Dados dois conjuntos A e B, a diferença A – B é o conjunto formado pelos elementos que fazem parte de A, mas não fazem parte de B.

Ex.: A= {1,2,3,4,5}     B={4,5,6,7}

A – B = {1, 2, 3}

B – A = {6,7}

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COMPLEMENTAR

Sejam A e B dois conjuntos onde B é subconjunto de A. Define-se o complementar de B em relação A como sendo A – B.

C_A^B = A –B

Ex.: A= {1,2,3,4,5,6,7}   B= {2,4,6}

C_A^B={1,3,5,7}

OBS.: Só é complementar quando um conjunto é subconjunto do outro.

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