Função de Segundo grau

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Equação ou Função de Segundo grau

 

Função de Segundo grau é a função real do tipo y= ax2+bx+c, sendo a, b e c constantes e a ≠0.

 

função de segundo grau

Exemplos:

y= x2+3x+1

a=1

b=3

c=-1

 

y= -x2+5

a=-1

b=0

c=5

 

y= x + 3x2

a=3

b=1

c=0

 

Zero ou Raízes da função de Segundo grau

As raízes ou zeros da função de segundo grau, y= ax2+bx+c, caso existam, são os valores de x quando y=0.

Para resolver fica: ax2+bx+c=0

Para resolver e encontrarmos as raízes devemos usar a fórmula de bhaskara:

Onde Δ=b2-4ac

OBS.: Número de raízes da função de segundo grau depende do valor de Δ:

1) para Δ>0 – Duas raízes reais e distintas

2) para Δ=0 – Duas raízes reais e iguais

3) para Δ<0 – não possui raiz real

Exemplo de gráficos:

função de segundo grau

Outras formas de resolver uma função de segundo grau:

a) Quando c=0, ou seja, y=ax2+bx

Podemos resolver colocando o x em evidência.

ax2+bx=0

x(ax+b)=0

Para essa equação ser igual a 0:

                               x=0 ou  ax+b=0

                                               ax = -b

                                               x = -b/a

Exemplo: y = x2 + 2x

                          x2 + 2x = 0

x(x+2) = 0

Assim, x=0   ou x+2=0

x=-2

Raízes: x1 = 0 e x2 = -2

b) Quando b=0, ou seja y=ax2+c

ax2+c=0

ax2=-c

x2=-c/a

 

 

Exemplo: y=25-x2

25-x2=0

x2=25

x =±5

Raízes x1=5 e x2=-5

 

Gráfico da função de segundo grau

A gráfico da função de segundo grau tem forma de parábola. A abertura ou concavidade da parábola é definida pelo valor de a:

 

função de segundo grau

– O ponto mais alto (máximo) ou mais baixo (mínimo) da parábola é o vértice.

– A reta vertical (imaginária) que passa pelo vértice é o eixo de simetria.

– O valor do coeficiente c, no gráfico é o ponto em que o gráfico cruza o eixo y. Pois sabendo que y = ax2+bx+c, então quando x=0, teremos y = 0.x2+0.x+c. Assim, y=c.

Com isso só de olhar um gráfico temos várias informações:

função de segundo grau

Cálculo do vértice da parábola

Através do vértice determinamos o ponto máximo e o ponto mínimo da função e conseguimos analisar o crescimento e decrescimento da função. Os pontos do vértice são (Xv, Yv), em que Xv e Yv são definidos como:

função de segundo grau

 

Soma e Produto das Raízes

A soma S e o Produto P de duas raízes X1 e X2 dependem dos coeficientes a, b e c da função de segundo grau.

Demonstração:

soma e produto das raízes de uma função

Em resumo, o que você precisa saber é:

S= -b/a  e P= c/a

 

Exemplo: Qual a soma e o produto das raízes da equação y=x2-7x+6

a=1, b= -7 e c= 6

S= x1 + x2 = -b/a = -(-7)/1

S= 7

P= x1 . x2 = c/a = 6/1

P=6

 

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