Conjuntos: Dicas para acabar com suas dúvidas

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Hoje vamos estudar Conjuntos. Esse é um tópico importante tanto para quem vai estudar para o ENEM e vestibulares, quanto para quem está estudando para concursos. Conjunto é uma matéria recorrente nas provas e se você souber como resolver já garante alguns pontinhos a mais na sua nota. Então vamos começar!!

 

Dúvidas conjuntos

Conjuntos

A ideia de conjunto se relaciona a ideia de grupo ou coleção.

Ex.: Conjunto dos dias da semana

D={Domingo, Segunda, Terça, Quarta, Quinta, Sexta, Sábado}

 

  • Quando o conjunto for vazio deve ser representado por:

C= { } ou C= Ø

  • Se o conjunto tem mais elementos colocamos (…) para indicar que ele continua.

 

ELEMENTO de um conjunto

  • Cada uma das partes individuais deste conjunto é chamada de elementos.

Ex.: V={ a, e, i, o, u}

a, e, i, o, u são elementos de V

a ϵ V  – a é elemento de V

b ∉ V  – b não é elemento de V

  • Um conjunto (quando for possível) também pode ser descrito através de uma propriedade comum a todos os seus elementos.

Ex.: V= {x ϵ V/ x é uma vogal}

  • Ou através de um diagrama

conjunto numérico

 

 

 

 

Subconjunto


Imagine dois conjuntos A e B. Se todo elemento de A for também elemento de B, então A é subconjunto de B.

conjunto
A C B  => A é subconjunto de B

 

 

 

  • Todo subconjunto é subconjunto de si mesmo

A C A

 

  • O vazio é subconjunto de qualquer conjunto.

Imagine o conjunto A={1, 3, 5, 7, 9}.

As seguintes afirmações são verdadeiras.

{1, 3, 5} C A                                         {1, 2}  A

{1} C A                                                 {9, 7, 5, 3, 1} C A

1 ⊅ A                                                    Ø ⊅ A

Número de subconjuntos de um conjunto

Para um conjunto de n elementos, temos que o número de subconjuntos formados será 2n

Ex.: B={1, 2, 3}                  n= 3

Subconjuntos = 23= 8

Como podemos ver os subconjuntos são: {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1, 2, 3}, Ø

 

Diferença entre subconjunto e elemento

Subconjunto: é um conjunto feito a partir de um conjunto original.

Elemento: Integrante de um conjunto.

Se o elemento a faz parte do conjunto B, então:             a ϵ B  e   {a} C B

 

CONJUNTOS NÚMERICOS

  • Números naturais

São os números que usamos para contar objetos.

N = {0,1,2,3,4…}

 

  • Números inteiros

São os números inteiros positivos e negativos e zero.

Z = {…-3,-2,-1,0,1,2,3…}

Z+= conjunto dos inteiros positivos e o zero

Z = conjunto dos inteiros negativos e o zero

Z+*= conjunto dos inteiros positivos, SEM o zero

Z*= conjunto dos inteiros negativos, SEM o zero

 

  • Números Racionais

Sejam a e b dois números inteiros, com b≠0. Em outras palavras, são racionais os números que são razões (quocientes) de dois números inteiros. Simbolicamente, representa-se o conjunto dos números racionais (Q) assim:

conjunto do racionais

São números racionais:

  • Qualquer número inteiro.

Exemplos:

a) 0 = 0/3

b) 5 = 5/1

c) 10 = 20/2

d) -8 = -8/1

De modo geral, os números inteiros podem assumir a forma a/b, na qual a ϵ Z, b ϵ Z* e a é múltiplo de b.

 

  • Qualquer decimal exato (numerais que apresentam um número finito de algarismos decimais diferentes de zero).

Exemplos:

a) 6,3 = 63/10

b) -0,0001 = -1/10.000

c) 6,171717 = 6171717/106

d) 4,3 = 4,30 = 4,300 = 4,3000 = … é um decimal exato

 

  • Qualquer fração de numerador inteiro e de denominador inteiro não nulo.

Exemplos:

a) -1/8

b) 7/13

c) 31333/990

 

  • Qualquer decimal periódico (numerais formados por infinitos algarismos decimais que se repetem periodicamente).

Exemplos:

a) 0,666…

b) -0,232323…

c) 5,1888…

 

  • Números Irracionais

Números como 1,4142135…, cuja representação decimal é infinita e não periódica, são chamados de números irracionais, isto é não racionais e, sendo assim, não são inteiros nem razão de dois inteiros, mas podem representar medidas no mundo real, como a medida da diagonal do quadrado de lado 1.

Veja outros exemplos de números irracionais:

a) 0,1234567891011…

b) 1,01002000300004…

c) π = 3,141592…

d) raiz de 3 = 1,7320508…

 

NÚMEROS REAIS

O conjunto dos números Reais (R) é formado pela União dos números racionais e os números irracionais.

Usando o diagrama temos:

conjunto dos Números racionais e números irracionais

Conjunto UNIVERSO

É o conjunto que engloba todos os conjuntos considerados.

conjunto

 

OBS.: O conjunto Universo poderá limitar as soluções de um problema.

Ex: Qual a solução de X+1=2,5? Considere U= números naturais.

X=2,5-1

X=1,5, Mas 1,5 ∉ Naturais

Resp.: Não há solução, pois a resposta está fora do conjunto universo citado.

 

União de conjuntos

É a junção dos elementos de dois ou mais conjuntos. Símbolo: U

Ex.: A= {1,2,3,4,5}     B={4,5,6,7}

AUB={1,2,3,4,5,6,7}

união de conjuntos

 

Intersecção de conjuntos

São os elementos comuns a 2 ou mais conjuntos. Símbolo: ∩

Ex.: A= {1,2,3,4,5}     B={4,5,6,7}

A∩B={4,5}interseção entre conjuntos

IMPORTANTE: Quando formos resolver questões de conjunto, devemos SEMPRE começar pela interseção.

 

Propriedades dos conjuntos
  • A UA=A => propriedade idempoente
  • Ø U A = A => elemento neutro da união
  • A U (BUC) = (A U B) U C => propriedade associativa
  • A U B = B U A => propriedade comutativa
  • A ∩ A =A => propriedade idempoente
  • A ∩ B = B ∩ A => propriedade comutativa
  • A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C => propriedade assossiativa
  • A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C) => propriedade distributiva
  • A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C) => propriedade distributiva

SUBTRAÇÃO de conjuntos

Dados dois conjuntos A e B, a diferença A – B é o conjunto formado pelos elementos que fazem parte de A, mas não fazem parte de B.

Ex.: A= {1,2,3,4,5}     B={4,5,6,7}

A – B = {1, 2, 3}

B – A = {6,7}

subtração de conjuntos

COMPLEMENTAR

Sejam A e B dois conjuntos onde B é subconjunto de A. Define-se o complementar de B em relação A como sendo A – B.

CAB = A –B

Ex.: A= {1,2,3,4,5,6,7}   B= {2,4,6}

CAB={1,3,5,7}

OBS.: Só é complementar quando um conjunto é subconjunto do outro.

complementar do conjunto

 

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